고1수학 수I 복소수의 뜻 수업지도안

교육학과 임승준

I. 개요

□ 수업 제목: 복소수의 뜻

□ 학습 대상: 고등학교 1학년

□ 수업 시간: 50분

□ 학습 목표

1) 허수단위 와 복소수의 개념을 설명할 수 있다

2) 복소수가 서로 같은 조건과 켤레복소수의 개념을 설명할 수 있다.

II. 개발 배경

수학에서 ‘수’는 수학이라는 학문 분야의 기본 개념이다. 고대에서부터 현대에 이르기까지 그 기본적인 수 개념은 끊임없이 자신의 범위를 확장해왔다. 1,2,3으로부터 시작하는 양수, 음수와 0, 그리고 유리수와 무리수. 이 모든 것을 포함하는 실수. 그 이후 수는 더욱 확장되어 허수라고 하는 개념까지도 탄생하게 된다. 우리는 허수와 실수를 모두 포함하여 복소수라고 표현하는데, 중학교까지는 이 복소수의 개념을 다루지 않는다. 고등학교에서는 이 복소수 개념을 다룸으로써, 학생들의 수 개념이 더욱 확장될 수 있음을 알려준다. 그리고 이러한 복소수의 개념은 고등교육 과정에서 다양한 식들을 풀어낼 때 효과적이다. 이러한 이유로 복소수는 고등학교 수학과정에서 다루어질 필요가 있다.

수업지도안은 전체적으로 가네의 9가지 수업의 사태를 충실히 따르려고 노력하였다. 자극제시를 위한 자료 활용, 이번 시간에 무엇을 배워야 하는지 수업 목표를 알리기, 이전 학습내용 회상시키기, 학습 안내를 제시하고 수행을 유도하기, 학습자들에게 피드백을 주기, 피드백 이후 평가하기, 마지막으로 파지와 전이를 높이도록 하기로 전체 수업을 나누어 수업지도안을 개발하였다.

수업에서는 주의를 집중시키기 위해 여러 자료들을 활용하려 노력하였다. 다양한 영상자료를 활용함으로써 학생들의 참여도와 흥미를 끌어올릴 수 있기를 기대하였다. 개념을 학습하는 중에서는 PPT를 활용하였는데, 이와 더불어 개념 학습 후 개념 확인 문제를 학생들과 함께 풀어봄으로써, 개념을 익히는 데에 도움을 주려고 노력하였다. 또한, Socrative 앱을 활용하여 학생들이 문제 풀이에 참여하고, 그 결과를 교사가 바로 확인함으로써 빠른 피드백이 주어질 수 있도록 하였다.

피드백을 주는 과정에 있어서는 협동학습적인 측면을 추가하였다. 교사의 피드백은 일면 효과적으로 보일지도 모르나, 때로는 효과적이지 않을 때도 있다. 이를 해결하기 위해 학습자간의 피드백이 이루어지도록 하였다. 문제를 풀어본 뒤, 학습자는 조별로 서로의 문제 풀이방식을 공유하고, 다른 학생들의 개념 학습, 문제 풀이 방식의 오류 등을 점검하면서 피드백을 해준다. 이를 통해 피드백 해주는 학습자, 피드백 받는 학습자 모두 교육적 경험을 하게 된다. 그 과정에서 교사는, 선수 학습이 많이 부족하거나 참여도가 저조한 학습자들에게 집중적으로 도움을 줄 수 있게 된다. 피드백 과정 이후, 각 조별 성장도에 따라 보상을 해줌으로써, 학습자들의 피드백 의욕을 고취시켰다.

아쉬운 것은, 복소수라는 개념이 실생활과 밀접하게 연결되는 것을 고1 수준에서 설명하는 것이 쉽지 않다는 점이다. 실수는 기본적으로 어떤 양과 관련되어서, 보다 직관적으로 실수의 개념을 파악할 수 있지만, 허수는 직관적으로 파악하기 어려운 개념이기 때문이다. 그래서 허수를 설명할 때, 구체적인 예시나 삶 속에서 찾을 수 있는 사례를 활용하기 어려웠다, 또한 그에 따라, 학습 내용의 전이가 쉽게 이루어지지 않을 것이라 생각했다. 하지만, 그럼에도 불구하고 학습자들이 전이를 일으킬 수 있도록 복소수의 개념을 이용한 간단한 예시들을 들면서 수업을 마무리하고자 하였다.

Ⅲ. 수업 청사진

수 업 과 정

수 업 내 용

주의

주의 획득하기

학습 목표(복소수의 개념을 파악하기)와 연관된 흥미로운 영상 자료를 제시하고, 학생들의 동기를 유발할 수 있는 질문을 한다.

기존의 수의 확장에 대한 영상 자료 제시. (피타고라스와 무리수에 대한 EBS 자료)

- 실수까지 수는 끊임없이 확장되고 있었다. 또 무리수, 실수에서 더 확장될 수 있을까에 대한 질문을 해보고 어떤 수일지 이야기 나눠보도록 한다.

동기화

학습목표 제시

학습자에게 이번 수업 시간의 학습 목표를 알려준다.

1. 허수단위 i와 복소수의 개념을 설명할 수 있다.

2. 복소수가 서로 같은 조건과 켤레복소수의 개념을 설명할 수 있다.

- 실수의 범위를 넘어서는 수의 개념이 존재하며, 이번 시간에 그에 대해 다룰 것임을 알려준다.

사전지식 재생

사전지식 회상 자극

학습자들에게 지난 시간까지 다루었던 내용들에 대해 질문하고 대답을 하도록 함으로써 사전 지식을 자극한다.

-  의 실근을 구해본다. 이를 통해, 지난시간까지 인수분해개념을 이용하여 다항식의 해 구하기를 했음을 상기시켜 준다.

선택적 지각

자극 자료 제시하기

- 이번에는 을 풀어보도록 한다.

학습자들에게 풀 수 있는지 물어본다. 지금까지 착실히 수행해왔던 학습자라면 해가 없다고 답할 것이다. 그렇다면 수의 범위를 더 넓힌다면 해를 구할 수 있지 않을까라는 질문을 던져본다.

허수에 대한 자료를 보여준다. (EBS자료, 1분 남짓) 자료에서 어떤 예시를 통해 허수 개념이 등장했는지 이야기해본다.

허수단위에 대한 설명과 음수의 제곱근, 복소수의 개념을 PPT를 이용하여 설명한다. (PPT에는 개념을 다루는 기본적인 문제도 함께 담아, 학생들과 풀어볼 것.)

복소수가 서로 같을 조건과 켤레 복소수의 개념을 PPT를 이용하여 설명한다. (PPT에는 개념을 다루는 기본적인 문제도 함께 담아, 학생들과 풀어볼 것.)

의미적 부호화

학습안내 제시하기

- 앞서 본 동영상의 이외에 추가적인 자료를 활용함으로써, 지금까지 배운 수 개념에 허수 개념을 추가하여 정리하도록 함. (EBS 자료)

기존의 실수들이 수직선위에서 다루어진 수라는 것과 비교(연결)하여, 복소수는 평면좌표 위에 적을 수 있는 개념임을 평면좌표를 보여주며 설명.

이전까지 2차방정식에서 해가 없다고 설명했던 것과 비교(연결)하여, 이제는 모든 2차 방정식에서 해를 구할 수 있음을 예시를 통해 설명.

탐색과 회상

수행을 유발하기

- 복소수의 개념과 복소수가 서로 같을 조건 등에 대한 문제를 풀도록 한다. 이 때, Socrative를 활용하여 학생들의 개념학습 정도를 파악한다.

강화 수용

피드백을 제공하기

- Socrative를 활용한 문제 풀이 결과를 보고, 개념학습을 잘한 학습자들을 조장으로 하여 각 조별로 자신의 문제풀이 과정을 공유하고 다른 학습자들을 도울 수 있도록 한다.

- 각 조장들은 1) 자신의 문제풀이 과정을 설명하고, 다른 사람의 문제풀이 과정을 들은 뒤, 2) 어느 부분이 부족한지 파악하고 3) 개념학습이 미진한 학생들에게 피드백을 주어 문제를 풀 수 있도록 한다.

- 이 때, 학습자들의 참여가 소극적이거나 이전 학습내용에 대해서도 미진한 학습자가 있는 경우, 교수자는 보다 집중적으로 피드백을 줄 수 있도록 한다. 또한, 개념학습 피드백이 잘 이루어져, 향상도가 높은 조에는 보상을 줄 수 있도록 한다.

자극에 의한 재생

수행을 평가하기

피드백 이후, 수업시간에 다루었던 연습문제와 유사한 문제들을 통해서 학습자들이 개념과 문제들에 대해 충분히 학습했는지를 확인한다.

Socrative를 이용해 모든 학습자의 수행 데이터를 수집하고, 평가하도록 한다. 다음 단원은 복소수의 성질을 이용한 독특한 연산을 다루기 때문에, 수행도가 떨어진다면 그 다음 시간 전반부에 사전지식 회상에 보다 투자를 하도록 수업을 설계한다.

일반화

파지와 전이 향상시키기

- 학습목표를 다시 한 번 보여주고, 오늘 했던 활동들을 요약 정리해서 이야기해줌으로써 파지에 효과를 줄 수 있도록 한다.

- 고등학교 수준에서, 복소수의 전이는 어렵다. 복소수가 실생활에 응용되기 위해서는 대학 수준의 지식이 필요하다. 그러나 구체적인 복소수의 활용법은 아니더라도, 그 예시를 간략하게 들어줌으로써, 적용가능성을 보여줄 수는 있다. 수업 마무리 단계에서는 간략한 예시들을 들도록 한다.

Ⅳ. 수업 교안

수업단계

수업과정

교수학습활동

시 간

(총시간)

비고(준비물, 유의점)

교사

학생

도입

주의력 획득

■ PPT, 모니터, Socrative 앱이 설치되어 있는 스마트기기 등 수업 환경을 점검하고 학생들을 자리에 앉도록 한다.

■ 학생들과 인사 후 출석을 확인한다.

■ 수업을 시작하면서 학생들에게 준비한 영상 자료를 시청하도록 한다.

- 오늘 수업 시간과 관련해서 영상을 가져왔어요. 영상보고 수업 시작하도록 합시다.

http://clipbank.ebs.co.kr/selectClipPopPlayer?clipId=VOD_20120120_00344&reqId=100357&reqSvcUrl=wedorang.tk

■ 질문을 통해, 수업 내용과 관련하여 궁금증을 갖게 한다.

피타고라스와 무리수에 대한 영상을 봤어요. 여러분들이 고등학교에 올라오기까지 여러 가지 수의 범위를 배웠을 텐데요, 지금까지 여러분들이 알고 있는 숫자의 범위는 어떻게 되나요?

그러면 그 이후 더 넓은 숫자의 범위도 있을까요?

■ 자리에 앉아 수업을 준비한다.

■ 선생님과 인사 후 출석 확인에 답한다.

■ 선생님의 말을 주의 깊게 듣고 준비된 영상자료를 집중하여 시청한다.

음수요 정수요 유리수요 무리수요 실수요.

네 있어요. 아니요 없어요.

있으니까 선생님이 질문했을 거 같아요 등.

8분

(8분)

PPT, 모니터, Socrative 앱 등 수업 환경 확인

출석 확인

학습목표

제시

■ 이번 시간의 학습목표를 가르쳐 준다

1) 허수단위 와 복소수의 개념을 설명할 수 있다

2) 복소수가 서로 같은 조건과 켤레복소수의 개념을 설명할 수 있다.

여러분들이 지금까지 배운 실수 개념보다 더 넓은 범위의 숫자 개념이 존재해요. 이번 시간에는 실수를 넘어서 더 넓은 범위의 수인 허수, 복소수에 대해서 다룰 겁니다.

2분

(10분)

사전지식

회상

자극

■ 학습자들에게 지난 시간까지 다루었던 내용들에 대해 질문하고 대답을 하도록 함으로써 사전 지식을 자극한다.

-  의 해는 뭐였죠?

네 그렇죠. 우리는 인수분해를 통해서 저 식의 해를 구할 수 있습니다. 지난 시간까지 배운 내용이죠.

±1이요!.

2분

(12분)

전개

자극자료

제시

■ 질문을 통해 학습 내용에 대해 생각해보도록 한다.

- 이번에는 을 풀어봅시다. 여기서 우리는 해를 구할 수 있나요?

그렇다면 수의 범위를 넓혀보면 해를 구할 수 있을까요?

■ 허수에 대한 자료를 보여줌으로써 허수의 실제적인 유용성에 대해 생각해보게 한다.

http://clipbank.ebs.co.kr/selectClipPopPlayer?clipId=VOD_20111228_00063&reqId=100357&reqSvcUrl=wedorang.tk

■ 영상자료에서 어떤 예시를 통해 허수 개념이 등장했는지 이야기해본다.

영상에서 허수의 개념을 무엇을 통해 설명했나요?

그렇죠. 허수는 그런 곳에서 찾아볼 수 있습니다. 구체적으로 허수에 대해 알아봅시다.

■ 허수단위에 대한 설명과 음수의 제곱근, 복소수의 개념을 PPT와 교과서를 이용하여 설명한다.

아래는 주 개념 설명.

- 제곱하여 –1이 되는 수를 로 표현하고, 를 허수단위라고 합니다. 과 같이 나타내기도 합니다.

- a>0 일 때, 이고, -a의 제곱근은 ± 입니다.

실수와 허수를 붙여서 a+b라고 쓸 수 있는데, 이런 꼴을 복소수라고 하고 a를 실수부분, b를 허수수분이라고 합니다.

■ 개념 확인을 위한 문제를 풀어보고 틀리는 학생이 있으면 다시 설명해본다.

을 허수단위 를 이용해서 나타내면 어떻게 되나요?

의 실수 부분과 허수 부분은 어떻게 되나요?

■ 복소수가 서로 같을 조건과 켤레 복소수의 개념을 PPT를 이용하여 설명한다.

아래는 주 개념 설명.

a,b,c,d가 실수일 때

a+bi=c+di이면 a=c, b=d

a+bi=0이면 a=0, b=0

a+bi의 켤레복소수는 a-bi

■ 개념 확인을 위한 문제를 풀어보고 틀리는 학생이 있으면 다시 설명해본다.

(2x+1)-(3y-1)i=3-8i 이 식을 만족시키는 실수 x, y의 값은?

1-의 켤레복소수는?

못 구해요!

해가 없는 거라고 배웠어요!

모르겠어요. 아마도요?

땅의 넓이요! 없어진 땅의 한 변의 길이요!

몰라요, 요, 다른 오답 등.

2랑 요! 이외 오답 등.

x=1, y=3 혹은 그 외 오답.

1+ 혹은 그 외 오답.

12분

(24분)

학습안내

제시

■ 앞서 본 동영상의 이외에 추가적인 자료를 활용함으로써, 지금까지 배운 수 개념에 복소수 개념을 추가하여 정리하도록 함.

http://clipbank.ebs.co.kr/selectClipPopPlayer?clipId=VOD_20111102_00073&reqId=100357&reqSvcUrl=wedorang.tk

우리는 복소수까지 수의 범위를 확장할 수 있게 되었습니다.

■ 실수들과 비교하여 복소수는 수직선이 아닌, 평면좌표위에서 적을 수 있는 개념임을 설명.(PPT 활용)

■ 이전까지 2차방정식에서 해가 없다고 설명했던 것과 비교(연결)하여, 이제는 모든 2차 방정식에서 해를 구할 수 있음을 예시를 통해 설명.

예를 들어 의 해를 이제는 로 표현할 수 있게 됨.

10분

(34분)

수행을 유발

및

피드백 제공

■ 복소수의 개념과 복소수가 서로 같을 조건 등에 대한 문제를 풀도록 한다. 이 때, Socrative 앱을 활용하여 학생들의 개념학습 정도를 파악한다.

■ Socrative를 활용한 문제 풀이 결과를 보고, 개념학습을 잘한 학습자들을 조장으로 하여 각 조별로 자신의 문제풀이 과정을 공유하고 다른 학습자들을 도울 수 있도록 한다.

- 각 조장들은 1) 자신의 문제풀이 과정을 설명하고, 다른 사람의 문제풀이 과정을 들은 뒤, 2) 어느 부분이 부족한지 파악하고 3) 개념학습이 미진한 학생들에게 피드백을 주어 문제를 풀 수 있도록 한다.

4) 교수자는 소극적으로 참여하는 학생이나 개념학습이 미진한 학생 위주로 피드백을 준다.

5) 개념학습 피드백이 잘 이루어져, 향상도가 높은 조에는 수행평가에서의 가점 등을 줄 수 있도록 한다.

■ 학생들은 조별 활동에 최대한 참가하고, 개념 학습에 어려움이 있는 동료 학습자를 돕는 데에 힘쓰도록 한다.

10분

(44분)

스마트기기 배부

정리

수행을

평가

■ 피드백 이후, 수업시간에 다루었던 연습문제와 유사한 문제들을 통해서 학습자들이 개념과 문제들에 대해 충분히 학습했는지를 확인한다.

■ Socrative를 이용해 모든 학습자의 수행 데이터를 수집하고, 평가하도록 한다. 다음 단원은 복소수의 성질을 이용한 독특한 연산을 다루기 때문에, 수행도가 떨어진다면 그 다음 시간 전반부에 사전지식 회상에 보다 투자를 하도록 수업을 설계한다.

4분

(48분)

파지 및

전이

향상

■ 학습목표를 다시 한 번 보여주고, 오늘 했던 활동들을 요약 정리해서 이야기해줌으로써 파지에 효과를 줄 수 있도록 한다.

오늘은 실수의 개념에서 더 나아간 허수, 복소수의 개념, 복소수가 서로 같을 조건과 켤레복소수에 대해 다루었어요.

■ 수업을 마무리하면서, 복소수의 예시를 간략하게 들어준다. 이를 통해 복소수 개념의 실생활에서의 적용가능성을 보여준다.

만델브로 집합(프렉탈), 전기의 이용, 진동을 나타내는 도구로서 mp3나 디지털 화면을 나타내기 위해 쓰는 푸리에 변환 알고리즘 등이 복소수를 활용한 예시라고 할 수 있어요.

2분

(50분)

스마트 기기 반납

<참고자료(문헌)>

박성익, 임철일, 이재경, 최정임, (2015), 교육방법의 교육공학적 이해, 파주: 교육과학사.

이창희, 민경도, (2016), 수학의 바이블, 서울: 이투스교육(주).

<참고 사이트>

사진 자료

www.google.com

동영상 자료

http://clipbank.ebs.co.kr/selectClipPopPlayer?clipId=VOD_20120120_00344&reqId=100357&reqSvcUrl=wedorang.tk

http://clipbank.ebs.co.kr/selectClipPopPlayer?clipId=VOD_20111228_00063&reqId=100357&reqSvcUrl=wedorang.tk

http://clipbank.ebs.co.kr/selectClipPopPlayer?clipId=VOD_20111102_00073&reqId=100357&reqSvcUrl=wedorang.tk

이러한 질문보다 조금 더 다양한 대답, 본시 수업 내용과 관련된 질문이 가능하지 않을까?

이러한 내용이 맨 앞 주의집중 단계에 활용될 수 없을까?

실제 평가 문제가 교안에 포함되어야 함.